Несмотря на очень широкий выбор счётчиков-расходомеров и теплосчётчиков для учёта потреблённой холодной и горячей воды, а также потребляемой тепловой энергии в процессе реальной эксплуатации в жилых домах необходимые достоверность и стабильность метрологических характеристик, а в целом общую надёжность коммерческого учёта не обеспечивают многие из предлагаемых приборов. Так, у одних в первые недели и даже дни работы в системах отопления подтверждённой плотности расхождение показаний счётчиков-расходомеров, установленных на подающем и обратном трубопроводах, неуклонно растёт, достигая нескольких десятков процентов. У других эти расхождения носят случайный знакопеременный характер с уровнем зачастую превышающим по абсолютной величине 10% значения среднего расхода. Очень показательно, что видимо с целью разрешения этой проблемы «одним взмахом пера», в недавно введённой «Методике осуществления коммерческого учёта тепловой энергии, теплоносителя», в разрез с требованиями «Правил коммерческого учёта тепловой энергии, теплоносителя» об обязательной установке расходомеров на обоих трубопроводах системы отопления регламентируется установка только одного расходомера. При этом авторами этого документа в качестве одного из аргументов приводится, что практически все приборы, предлагаемые для установки в узлах учёта при первичной поверке, а зачастую при повторных поверках, удовлетворяют требованиям ТУ на них и уверенно допускаются, как коммерческие.
   В данной работе мы рассмотрим одну из возможных причин нестабильности метрологических характеристик счетчиков-расходомеров, используемых в узлах учёта тепловой энергии, тепловычислителя. Подчеркнём, что в рамках этой работы мы не будем останавливаться на анализе других причин нестабильности метрологических характеристик расходомеров, связанных с неустойчивостями профиля скорости потоков, с различного рода помехами и прочее.
Практически все счётчики-расходомеры, используемые в коммерческом учёте воды теплоносителя и тепловой энергии, принадлежат к скоростному типу, то есть к приборам, в которых измерение расхода жидкости базируется на измерении скорости движения её потока в измерительной части прибора так:

• в турбинных приборах скорость потока жидкости в определенном диапазоне навязывает прямо пропорциональную скорость вращения турбины;
• в вихревых она же определяет частоту отрыва вихрей;
• в ультразвуковых обуславливает различие времен прохождения ультразвукового импульса по потоку и против него;
• в электромагнитных скорость потока определяет разность потенциалов на электродах.

    Далее у всех приборов скоростного типа, полагаясь на постоянство геометрии их измерительной части, переходят к вычислению произведения площади измерительного сечения на среднюю скорость, что и является расходом. Это и обеспечивает соответствие между расходом и скоростью вращения турбины, или частотой формирования вихрей, или разностью времени происхождения ультразвукового импульса, или разностью потенциалов на электродах. И наконец, используя различные сумматоры, счётчики или квазинтеграторы, все вышеперечисленные типы расходомеров-счётчиков преобразуют расход жидкости в измерительном сечении в её объём, прошедший в заданном интервале времени. Поэтому величина зоны неопределенности результатов измерения объёма, кроме всех факторов связанных с преобразованием скорости потока во многом определяется качеством суммирования или квазинтегрирования. Насколько же это квази (почти) интегрирование отличается от строго интегрирования и как эти отличия могут сказаться на результатах вычисления объёма?
   В реальной жизни мы часто оперируем как мгновенным, так и средним значением некой физической величины, в нашем случае – величиной расхода или его интегралом - объёмом, не всегда задумываясь об условиях и границах их применяемости, полагаясь при этом на здравый смысл. Да, физические процессы, с которыми сталкиваемся в повседневной жизни, зачастую далеки от подходящих математических моделей, тем не менее, обоснованная их идеализация позволяет использовать при анализе этих процессов весь накопленный математикой арсенал средств, понимая область их применимости.
   В самом деле мы не можем, строго говоря, оперировать мгновенным значением физической величины, например мгновенным значением средней по сечению скорости, так как наблюдаем некую усреднённую величину, будь то частота вращения турбины или отрыва вихрей и так далее. Ведь само измерение это процесс, обладающий определенной продолжительностью и запаздыванием результата. И даже когда разность напряжения на электродах определяется безинерционно законом природы, связывающим эту разность со скоростью движения потока в магнитном поле, то усилители и другие устройства обработки электрического сигнала, имея ограниченное быстродействие, оперируют с как-то усреднённым запаздывающим напряжением. Что логично ставит вопрос, возможно ли в этих условиях измерений расхода неограниченно приблизиться к истинному значению объёма, прошедшего через счётчик-расходомер.
   В математике эта проблема относится к анализу свойств интеграла ограниченной непрерывной функции на отрезке, что соответствует свойствам расхода реальных жидкостей. Формулируя точнее - нас интересует степень независимости результатов интегрирования ограниченных непрерывных функций от проведения над ними различных усредняющих преобразований, не влияющих на постоянную составляющую. Линейных преобразований удовлетворяющих этим условиям континуальное множество, тем не менее, для примера мы рассмотрим одно из самых простых усредняющих преобразований с конечной базой:

Тогда для интегрируемой функции на отрезке

   И аналогично
 ,
что подтверждается разбиением отрезка интегрирования на части и интегрированием по частям.
   В реальной жизни чаще встречаются преобразования с неограниченной базой где, вес (вклад) действующего значения преобразуемой функции в значение преобразованной функции соответствующее времени наблюдения зависит от его удалённости в прошлое.
Например, преобразование электрического сигнала изменяющегося во времени в соответствии с функцией  интегрирующей цепью или RC-фильтром в электрический сигнал на его выходе будет решением дифференциального уравнения вида: , где

   Решением которого будет следующая формула:
 
   База этого преобразования простирается от текущего времени в бесконечно удалённое прошлое, но при этом если выбрать допустимую границу приближения результирующей функции, то необходимая протяженность базы фактически достаточна 5Т при уровне границ приближения не более 1%. А если потребуется, чтобы этот уровень не превышал 0,1%, то 7Т позволят не выходить за эти границы.
   Не нагружая читателя анализом доказательств независимости результатов интегрирования ограниченных непрерывных функций, подвергаемых усредняющим преобразованиям, не влияющих на постоянную составляющую, отметим, что оно является обобщением «Теоремы о среднем» и для физических процессов тесно связано с законами сохранения.
   В свою очередь, использование дискретных методов обработки сигнала, при интервалах опроса превышающих десятки секунд, также квазиинтегрирования или суммирования с количеством слагаемых, ограниченных несколькими десятками, требует обоснования условий их применимости. Теорема Котельникова устанавливает связь между максимальной длительностью интервала опроса и верхней частотой Фурье спектра сигнала (информационная трактовка функции напряжения или тока) от времени.
   Для точного воспроизведения сигнала длительность интервала опроса не должна превышать , где максимальная частота Фурье-спектра этой функции. Возвращаясь к расходу и его интегралу - объёму, нас интересуют возможные ошибки или, точнее, неопределённости результата аппроксимации функции расхода и вычисления объёма, если максимальная частота спектра Фурье сигнала о расходе значительно выше половины частоты опроса аналогово-цифровых устройств обработки сигнала расходомера.
   Если ранние простые системы отопления работали практически на постоянных расходах сетевой воды, обеспечивая тепловой баланс в условиях изменения температуры наружного воздуха увеличением или снижением температуры воды в подающем трубопроводе (с эпизодическим включением дополнительных насосов), то с внедрением энергоэффективных систем погодного регулирования диапазон изменения расхода как отношение максимального и минимального значения стал превышать несколько тысяч, в течении отопительного сезона. Быстрые же изменения, вызванные регулированием тепловой мощности, особенно в осеннее-весенние периоды, достигают нескольких десятков процентов в течение десятков секунд. В системах снабжения горячей водой (ГВС) и холодной водой (ХВС), скорость изменения расхода еще выше. Существенную лепту в высокочастотную область спектра расхода также вносят насосы, гидродинамические неустойчивости потоков в разветвлённых сетях, особенно при наличии остаточного завоздушевания, низкое качество запорно-регулирующей арматуры и другие причины.
   Опыт технического обслуживания и эксплуатации узлов учёта, систем контроля и автоматического регулирования, использующих токовой выходной сигнал о расходе, свидетельствует о наличии как случайных, так и периодических его колебаний на частотах превышающих единицы Герц при амплитудах более десяти процентов относительно среднего уровня. Разумеется, в этих условиях не может быть никакого адекватного воспроизведения реальной функции изменения расхода расходомерами с частотой опроса доли Герца.
   Однако из ранее проанализированного парадоксально следует, что если бы мы предварительно подвергли сигнал о расходе многократному усреднению или глубокой фильтрации, исключив либо все спектральные составляющие частотой выше или вообще «сгладив» весь спектр частот, то постоянная или среднее за интервал в разложение в ряд Фурье и будет средним расходом, а произведение этой постоянной на продолжительность интервала - объемом прошедшим через расходомер за это время.
   У расходомеров вихревого и ультразвукового типов предварительная фильтрация сигнала о расходе принципиально исключена, а у других типов введение этой операции в алгоритм их работы потребует значительных схемно-конструктивных изменений. Зачастую очень сильно прореженный опрос связан со стремлением снизить энергопотребление, рекламируя годичную и более работу на батарейном питании, и умалчивая, что подключение этих приборов в автоматизированные системы сбора неминуемо потребует сетевого питания. В большинстве своём эти счётчики-расходомеры используются в системах коммерческого учёта или ответственных системах контроля, где и наблюдаются метрологические казусы «кричащих» расхождений отпущенных и потребленных объёмов (масс). Поэтому резонно возникает вопрос о возможных отклонениях неопределённости вычисляемого объема от реально проходящего через счётчик-расходомер с частотой опроса ниже предела установленного теоремой Котельникова.
   Более того, как уже отмечалось, в современных высокоэффективных системах тепло- и водоснабжения верхняя частота спектра Фурье функции расхода выше частоты опроса некоторых типов расходомеров-счётчиков . Но при такой частоте опроса можно было говорить об однозначно достоверном восстановлении функции расхода, спектр которой был бы ограничен частотой . Отсюда весь Фурье-спектр функции расхода в современных системах разбивается на две части.
   Первая часть от 0 до , а вторая от до . В качестве базовых условий для анализа множества последовательностей опросных значений принимаем условия, приведённые в методиках поверки расходомеров. Это минимальное время поверки ≥200с и минимальный объем сличения ≥200л. Во второй части спектра нас интересуют гармоники с частотами близкими частоте опроса , а также кратными ей при отклонении не более 1,5%. У таких гармоник отсчётные значения, входящие в суммарное от всех гармоник значение расхода, в моменты опроса будут почти постоянными по величине в течении метрологически значимого отрезка времени (200с). Эта величина определяется амплитудой синхронных гармоник и их фазой по отношению к опросной частоте. Поэтому она может быть как положительной, так и отрицательной. На рис.1 приведен упрощенный для наглядности, но возможный в реальных сетях случай синхронного и со «скольжением» опроса расхода представленного суммой переменной и постоянной составляющих.

   Амплитуда таких гармоник определяется огибающей спектра Фурье расхода, которая в свою очередь, как уже отмечалось ранее, зависит от качества настройки регуляторов в системах погодного регулирования, гидронеустойчивостями и прочими причинами, приводящими к регулярным скачкам расхода и просто его периодическим колебаниям. Поэтому случайные отклонения показаний вообще несвязанные с реально прошедшим объёмом у счётчиков-расходомеров с частотой опроса ниже границы определяемой теоремой Котельникова могут превышать десятки процентов, не позволяя использовать их, как метрологические средства и тем более в коммерческом учёте.
   И, продолжая дальше анализ, ответим на еще один вопрос, поставленный ранее в этой работе. Как замена строгого интегрирования на конечное разбиение и суммирование может повлиять на результаты определения объёма? Ясно, что если мы ведем опрос с периодом определенной продолжительности, то делать меньше продолжительность отрезка-дискрета квазиинтегрирования не имеет смысла. Просто нет дополнительной информации о среднем значении расхода для каждого отрезка разбиения интервала времени между двумя последовательными опросами. Отсюда дискреты квазиинтегрирования по длительности могут быть либо равными периоду опроса, либо больше него. Тем самым, выявленная неопределённость будет присуща и этому разбиению временного интервала кваиинтегрирования. Более того, снижение числа слагаемых до нескольких десятков и соответственно увеличение их доли в вычисляемой сумме, если не использовать специальные меры по синхронизации, существенно увеличивает случайные отклонения объёма из-за потери или включения одного дискрета-слагаемого. И если даже поверка расходомера продолжается 5 минут (300 секунд), а длительность дискрета 5 секунд, количество слагаемых при вычислении объёма, прошедшего через такой расходомер, не превысит 60 и только неопределённость такого разбиения без учета других причин будет превышать по модулю 1,5%.
   Из результатов проведенного анализа следует:

1.  Замена мгновенных значений расхода средним значением на конечном интервале времени, предшествующему моменту отсчёта, не влияет на значение ее интеграла - объёма при соответствующем уточнении пределов интегрирования.
2. Обобщённо: любое усредняющее преобразование ограниченной непрерывной функции, не изменяющее постоянную составляющую, с конечной или ограниченной базой, в зависимости от уровня приближения не влияет на значение интеграла после преобразования при соответствующем уточнении пределов интегрирования.
3. В целях исключения случаев значительных (более 4-5%) расхождений в объёмах, отгруженных поставщиком и полученных потребителем, по трубопроводам без потерь в сетях ХВС и ГВС, а также водяного теплоснабжения с регулированием расхода не рекомендуется применение расходомеров (теплосчётчиков), использующих дискретный опрос сигнала о расходе с частотой ниже 2Гц и дискретом времени при квазиинтегрировании более 1 секунды.
4. Соответствующие изменения внести в «Правила коммерческого учёта тепловой энергии, теплоносителя» и другие документы, регламентирующие разработку, сертификацию и применение счётчиков-расходомеров и теплосчётчиков.
5. Для обеспечения постоянного мониторинга за устойчивостью метрологических характеристик счётчиков-расходомеров и теплосчётчиков, используемых для коммерческого учета потребляемой воды и тепловой энергии, в условиях постоянно совершенствующейся эффективности их потребления, в узлах учета тепловой энергии использовать только двухрасходомерную схему.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г.М. Фихтенгольц - «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Физматлит, 2006 г.
2. А.Н. Колмогоров - «Математика в ее историческом развитии», Москва «Наука», 1991 г.
3. И.С. Гоноровский - «Радиотехнические цепи и сигналы», Издательство «Радио и связь», 1986 г.